自然変換

図式を使わない定義

• $\mathcal{A},\mathcal{B}$を圏とし、$F,G:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$を関手とする
• 自然変換$a:F\to G$とは、$\mathcal{B}$の [射の族] $(F(A)\stackrel{{\alpha }_A}{\to }G(A){)}_{A\in \mathcal{A}}$であって、
  • $\mathcal{A}$の各射$A\stackrel{f}{\to }{A}^{\prime }$について${\alpha }_{A^{\prime }}\circ F(f)=G(f)\circ {\alpha }_A$が成り立つもの
    • 自然性公理という
  • この 射の族(集まり) 自体が自然変換になる。自然変換を取り扱うときには$\mathcal{B}$の射の族であることを思い出すこと。

図式を使った定義

• $\mathcal{A},\mathcal{B}$を圏とし、$F,G:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$を関手とする
• 自然変換$\alpha :F\to G$とは、$\mathcal{B}$の射の族$(F(A)\stackrel{{\alpha }_A}{\to }G(A){)}_{A\in \mathcal{A}}$であって、以下の図式(自然性公理)を満たすもの。

$$\text{require}AMScd\begin{array}{ccc}F(A)& \stackrel{F(f)}{\to }& F(A^{\prime })\\ {\alpha }_A\downarrow & & \downarrow {\alpha }_{A^{\prime }}\\ G(A)& \underset{G(f)}{\to }& G(A^{\prime })\end{array}$$

各記号は次の型になっている

• $F(A),F(A^{\prime }),G(A),G(A^{\prime })\in {\mathcal{B}}_{ob}$
• $F(f),G(f)\in \mathrm{Hom}(\mathcal{B})$
• ${\alpha }_A,{\alpha }_{A^{\prime }}\in \alpha$

$\mathcal{A}$の各射$f$について上記の図式が成り立つことを確認しないと自然変換とは言えない。

性質

• 関手の構造を保って写すもの
• 定義に含まれる可換図式について
  • 示していることは等式でも表せて、つまりはこれが自然変換の公理となる
  • 準同型写像や関手では二項演算について考えていたので、日状の可換図式の定義だった
  • 自然変換では一項の演算について考えているので、四角の可換図式による定義になっている